已知地球表面的重力加速度为g,地球的第一宇宙速度为v.一个行星的半径为R,其密度与地球密度相同,则该星球的第一宇宙速度

题目

已知地球表面的重力加速度为g,地球的第一宇宙速度为v.一个行星的半径为R,其密度与地球密度相同,则该星球的第一宇宙速度

答案

当恰好达到第一宇宙速度时,飞船绕地球作匀速圆周运动,设地球半径为r,质量为M,另一行星质量为M',重力加速度为g',第一宇宙速度为v'
因为此时重力充当向心力,所以
mg=mv^2/r
r=v^2/g
v^2=gr
同理v'^2=g'R
而根据万有引力定律
g=GM/r^2
M=pV
V=4πr^3/3(p为密度)
解得g=4Gpπr/3
同理另一行星上g'=4GpπR/3
所以g':g=R:r
而v'^2:v^2=g'R:gr=R^2/r^2
即v'=(R/r)v
而r=v^2/g,代入
解得v'=gR/v