设实数a、b使方程x4+ax3+bx2+ax+1=0,求a2+b2的最小值.
题目
设实数a、b使方程x4+ax3+bx2+ax+1=0,求a2+b2的最小值.
答案
由方程x
4+ax
3+bx
2+ax+1=0,可知x≠0,因此方程可化为
x2+ax+b++=0.
令t=
x+,则t
2+at+b-2=0,|t|≥2.
设g(t)=t
2+at+b-2,(|t|≥2).
当
-<-2时,即a>4,只需△=a
2-4b+8≥0,此时a
2+b
2≥16.
当
->2时,即a<-4,只需△=a
2-4b+8≥0,此时a
2+b
2≥16.
当
-2≤-≤2时,即-4≤a≤4,只需(-2)
2-2a+b-2≤0或2
2+2a+b-2≤0,
即-2a+b+2≤0或2a+b+2≤0时,此时
a2+b2≥.
∴a
2+b
2的最小值为
.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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