算式3*8*13*18*…*2013的计算结果除以25的余数是多少

题目

算式3*8*13*18*…*2013的计算结果除以25的余数是多少

答案

先铺垫一个求余数的方法：
【两数相乘÷a的余数相当于这两个数分别÷a的余数乘积再÷a的余数.】
证明：
设b=m×a+b1、c=n×a+c1
那么
b×c
=(m×a+b1)(n×a+c1)
=m×n×a×a+n×a×b1+m×a×c1+b1×c1
于是,
(b×c)÷a的余数相当于(m×n×a×a+n×a×b1+m×a×c1+b1×c1)÷a的于是,
实际上就是(b1×c1)÷a的余数.
于是,
3×8×13×18×23×28×33×38×43×43×...×1993×1998×2003×2008×2013
相当于
3×8×13×18×23×3×8×13×18×23×...3×8×13×18×23×3×8×13
也就是说,可以分成2000÷25=80组3×8×13×18×23,最后还剩下3×8×13
而3×8×13×18×23÷25的余数是18,3×8×13÷25的余数是12,
因而,相当于
18的80次方×12再÷25的余数,
而18的平方是324,此处我用上负号吧,更省事儿,不过你没学过负号,请追问.
324÷25=12……24,也可以认为324÷25=13……-1
也就是说,18的平方÷25的余数是-1
而18的80次方可以分成40组18的平方,
于是,相当于（-1）的40次方×12再÷25的余数,
也就是12了.
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