已知abc不等于0,a2+b2+c2=1,且a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=-3,求a+b+c的值

题目

已知abc不等于0,a2+b2+c2=1,且a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=-3,求a+b+c的值

答案

这个题比较简单,给第二个式子变形：
a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)
=a(1/b+1/c)+1+b(1/c+1/a)+1+c(1/a+1/b)+1-3
=a(1/a+1/b+1/c)+b(1/a+1/b+1/c)+c(1/a+1/b+1/c)-3
=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)-3
所以,题目条件就可以化为(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)-3=-3,(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=0
此时分两种情况：
①a+b+c=0（不用说了,结果已经出来了）
②1/a+1/b+1/c=0,ab+bc+ca=0（通分即得）
此时a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=1+2*0=1,(a+b+c)^2=1
a+b+c=1或a+b+c=-1
综上,a+b+c=-1,0,1