三棱锥P-ABC内接于球O，如果PA、PB、PC两两垂直且PA=PB=PC=a，则球心O到平面ABC的距离是_．

题目

三棱锥P-ABC内接于球O，如果PA、PB、PC两两垂直且PA=PB=PC=a，则球心O到平面ABC的距离是______．

答案

空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，
则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，
所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，
球的直径即是正方体的对角线，长为

3

a，
所以这个球面的半径

1

2

3

a，
球心O到平面ABC的距离为体对角线的

1

6

，
即球心O到平面ABC的距离为

3

6

a．
故答案为：

3

6

a．

由题意可知三棱锥P-ABC是正方体的一个角，扩展为正方体，两者的外接球是同一个球，求出球的半径，减去顶点P到平面ABC的距离，即可求出球心O到平面ABC的距离．

本题考点：球内接多面体；棱锥的结构特征．

考点点评：本题是中档题，考查球的内接体知识，球的表面积的求法，考查空间想象能力，计算能力，分析出正方体的对角线就是球的直径是解好本题的关键所在．