设f(x)是定义域R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=
题目
设f(x)是定义域R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=
(1)求证;f(x)是周期函数(2)当x∈【2,4】时,求f(x)的解析式(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+.+f(2008)
答案
补充题目:
设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x),当x属于[0,2]时,f(x)=2x-x^2
1)求证;f(x)是周期函数(2)当x∈【2,4】时,求f(x)的解析式(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+.+f(2008)
(1)由于f(x+2)=-f(x),
f[(x+2)+2]=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)
则f(x+4)=f(x),f(x)是以4为周期的周期函数
(2)由题设我们知道x∈[0,2]时,f(x)=2x-x^2
x∈[2,4]时,4-x∈[0,2],
f(x)=-f(-x)=-f(4-x)=-[2(4-x)-(4-x)^2]
f(x)=-(8-2x-16+8x-x^2)
f(x)=x^2-6x+8
(3)由x∈[0,2]时,f(x)=2x-x^2,
得到f(0)=f(4)=f(8)=……=0
f(1)=f(5)=f(9)=……=1
由x∈[2,4]时,f(x)=x^2-6x+8
得到f(2)=f(6)=f(10)=……0
f(3)=f(7)=f(11)=……-1
f(0)+f(1)+f(2)+……+f(2008)总共是2009个值相加,每四个的和为0,所以后2008个的和都为0,所所求=f(0)=0
所以f(0)+f(1)+f(2)+……+f(2008)=0
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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