根据函数单调性定义证明：f(x)=x/(x^2+1)在(-1,1)上为增函数

题目

根据函数单调性定义证明：f(x)=x/(x^2+1)在(-1,1)上为增函数

答案

任取x1,x2∈（-1,1）
Δx=x1-x2>0
Δy=x2/(x2^2+1)-x1/(x1^2+1)
=[x2(x1^2+1)-x1(x2^2+1)]/[(x2^2+1)(x1^2+1)]
=(x2*x1^2-x1*x2^2+x2-x1)/[(x2^2+1)(x1^2+1)]
=[x1*x2(x1-x2)+x2-x1]/[(x2^2+1)(x1^2+1)]
=(1-x1*x2)(x2-x1)/[(x2^2+1)(x1^2+1)]
>0
所以为增函数