已知函数f(x)=log21+x/1−x (Ⅰ)求证:f(x1)+f(x2)=f(x1+x21+x1x2) (Ⅱ)若f(a+b/1+ab)=1,f(−b)=1/2,求f(a)的值.
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已知函数f(x)=log21+x/1−x (Ⅰ)求证:f(x1)+f(x2)=f(x1+x21+x1x2) (Ⅱ)若f(a+b/1+ab)=1,f(−b)=1/2,求f(a)的值.
题目
已知函数
f(x)=lo
g
答案
(I)证明:左边=f(x
1
)+f(x
2
)=
lo
g
2
1+
x
1
1-
x
1
+
lo
g
2
1+
x
2
1-
x
2
=
lo
g
2
(
1+
x
1
1-
x
1
•
1+
x
2
1-
x
2
)
=
lo
g
2
1+
x
1
+
x
2
+
x
1
x
2
1-
x
1
-
x
2
+
x
1
x
2
.
右边=
lo
g
2
1+
x
1
+
x
2
1+
x
1
x
2
1-
x
1
+
x
2
1+
x
1
x
2
=
lo
g
2
1+
x
1
+
x
2
+
x
1
x
2
1+
x
1
x
2
-
x
1
-
x
2
.
∴左边=右边.
(II)∵f(-b)=
lo
g
2
1-b
1+b
=
-lo
g
2
1+b
1-b
=
1
2
,∴
f(b)=-
1
2
.
利用(I)可知:f(a)+f(b)=
f(
a+b
1+ab
)
,
∴
-
1
2
+f(a)=1,解得f(a)=
3
2
.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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