双曲线的左右焦点F1,F2,P为双曲线上一点,P到左准线距离为D,D,PF1,PF2成等比数列

题目

双曲线的左右焦点F1,F2,P为双曲线上一点,P到左准线距离为D,D,PF1,PF2成等比数列
双曲线的x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)左右焦点F1,F2,P为双曲线左支上一点,P到左准线距离为D,D,PF1,PF2成等比数列
1,若y=√3x是双曲线一条渐近线,求P坐标
2,求双曲线离心率取值范围

答案

因为Y=√3 X 是双曲线的渐近线,所以得出 b^2 =3 a^2
⑴设P（X1,Y1).因为PF1/D =e(根据圆锥曲线的统一定义） 且PF2 -PF1 =2a
所以得PF1 =eD PF2 =eD+2a.因为D,PF1,PF2为AG,所以PF1^2 =D*PF2
所以代入得到 (eD)^2 =eD^2 +2aD 得D=a.
所以P的横坐标是 -（a+ a^2 /c)即 X1=- 3/2 a Y1=±√15 /2 a (这个a我没求出来,不知道可求不可求）
⑵.由⑴中的 (eD)^2 =eD^2 +2aD 得X1 =(a+c)a^2 /(ac-c^2) （将e=c/a 和P的坐标代入）.因为X1≤-a .所以最后得到 a^2 +2ac -c^2 ≥0
两边同除c^2 .得e^2 -2e -1≤0.所以e∈（1,√2 +1）