由圆外定直线上任意点,引圆的两条切线,求证：两切点的连线必过一定点

题目

由圆外定直线上任意点,引圆的两条切线,求证：两切点的连线必过一定点
能不能不用解析法,用几何方法证明

答案

如图,有任意一圆⊙O,有任意一圆外定直线l,取任意一点A,由点A引⊙O两条切线,分别切⊙O于B、C,连接BC,连接OA交BC于点D,作OF⊥l,交l于点F、交BC于点E.
设⊙O半径为r,⊙O到l距离为a.
易得∠1=∠2.
∴OD/OB=OB/OA.
∴OD×OA=OB×OB=r^2.
易证△ODE∽△OFA
∴OD/OE=OF/OA,
∴OE×OF=OD×OA,
设OE/OF=x.
∴OE×OF=(a^2)*x=OD×OA=r^2.
∴x=(r^2)/(a^2).
∵r,a为定值.
∴x为定值,即OE/OF为定值.
∵任意BC必交OF,而该点在OF上的比例为定值.
∴任意BC必交OF上的一定点,即任意BC必经过一定点.