在棱长为1的正四面体ABCD中,E为AD的中点,试求CE与面BCD所成的角

题目

在棱长为1的正四面体ABCD中,E为AD的中点,试求CE与面BCD所成的角

答案

设F为BC的中点,G为E在平面BCD上的垂足.
sin∠EFD＝（1/2）／（√3/2）＝1/√3.
cos∠EFD＝√（2/3）.
EF＝FD×cos∠EFD＝（√3／2）×√（2/3）＝1/√2.
FG＝FE×cos∠EFD＝（1/√2）×√（2/3）＝1/√3.
CG²＝CF²＋FG²＝（1/2）²＋（1/√3）²＝7/12.
CG＝√（7/12）.
cos∠ECG＝CG／CE＝√（7/12）/（√3／2）＝√7／3.
∠ECG＝arccos（√7/3）≈28°15′.
这就是CE与平面BCD所成的角.