在三角形ABC中,∠C=三角形ABC中,∠C=90°,AC=6. tanB=3/4,
题目
在三角形ABC中,∠C=三角形ABC中,∠C=90°,AC=6. tanB=3/4,
D是BC的中点,E为AB边上的一个动点,做角DEF=90,EF交射线BC于点F.设BE=x,三角形BED的面积为y
1)求y关于x的函数关系式并写出自变量的取值范围
2)如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切,求线段BE的长
3)如果以BEF为顶点的三角形与三角形BED相似,求三角形BED的面积
答案
(1)∵在△ABC中,∠C=90°,AC=6,tanB=3/4,
∴BC=8,AB=10,
∴CD=DB=4.
过点E作EH⊥CB于H.
则可求得EH=3x/5 .
∴y=1/2×4× 3x/5=6x/5(0<x≤16/5或5<x≤10).
(2)取AE的中点O,过点O作OG⊥BC于G,连接OD.
则OG=3/5 OB=3/5×(10+x)/2=3(10+x)/10 ,GD=CD-CG=4-2/5(10-x)=2x/5,
∴OD= √[9/100(10+x)^2+4x^2/25].
若两圆外切,则可得1/2 BC+ 1/2AE=OD,
∴(BC+AE)^2=4OD^2,
∴(8+10-x)^2=4[ 9/100(10+x)^2+ 4x^2/25]
解得x=20/3.
若两圆内切,得| 1/2BC- 1/2AE|=OD,
∴(BC-AE)^2=4OD^2,
∴(8-10+x)^2=4[ 9/100(10+x)^2+ 4x^2/25]
解得x=-20/7(舍去),所以两圆内切不存在.
所以,线段BE的长为20/3.
(3)由题意知∠BEF≠90°,故可以分两种情况.
①当∠BEF为锐角时,
由已知以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似,又知∠EBF=∠DBE,∠BEF<∠BED,所以∠BEF=∠BDE.
过点D作DM⊥BA于M,过E作EH⊥BC于H.
根据等角的余角相等,可证得∠MDE=∠HDE,
∴EM=EH.
又EM=MB-EB=16/5-x,
由(1)知:EH= 3x/5,
∴ 16/5-x=3x/5,
∴x=2.
∴y= 6/5×2=12/5.
②当∠BEF为钝角时,同理可求得x-16/5=3x/5
∴x=8.
∴y= 5/5×8=48/5.
所以,△BED的面积的面积是12/5或48/5.
举一反三
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