已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x∈(0,1)时,f(x)=2x4x+1. (1)求f(1)和f(-1)的值; (2)求f(x)在[-1,1]上的解析式.
题目
已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x∈(0,1)时,f(x)=
.
(1)求f(1)和f(-1)的值;
(2)求f(x)在[-1,1]上的解析式.
答案
(1)∵f(x)是周期为2的奇函数,
∴f(1)=f(1-2)=f(-1)=-f(1),
∴f(1)=0,f(-1)=0.…(4分)
(2)由题意知,f(0)=0.
当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1).
由f(x)是奇函数,
∴f(x)=-f(-x)=-
=-
,
综上,f(x)=
| ,x∈(0,1) | -,x∈(-1,0) | 0,x∈{-1,0,1} |
| |
…(12分)
(1)由已知中在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,可得f(1)=f(1-2)=f(-1)=-f(1),进而求出f(1)和f(-1)的值;
(2)当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1).由f(x)是奇函数,可得f(x)=-f(-x)=-
=-
,结合已知及(1)中结论,可得答案.
函数奇偶性的性质;函数的周期性.
本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,函数的周期性,函数求值及函数解析式的求法,是函数的简单综合应用,难度中档.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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