泰勒中值定理是什么东西,做什么用的

题目

泰勒中值定理是什么东西,做什么用的
我们可以用一个n次多项式pn(x)来近似表达一个函数f(x),
使两者之差f(x)-pn(x)=o[(x-x0)^n],为什么有
pn,就有(x-x0)^n
n是什么

答案

泰勒展开式：
f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+…+an(x-x0)^n+a(n+1)(x-x0)^(n+1)+a(n+2)(x-x0)^(n+2)…
pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+…+an(x-x0)^n
f(x)-pn(x)=a(n+1)(x-x0)^(n+1)+a(n+2)(x-x0)^(n+2)+…
=(x-x0)^n*[a(n+1)(x-x0)+a(n+2)(x-x0)^2+…]
=o[(x-x0)^n]