关于函数的极值与导数的题目

题目

关于函数的极值与导数的题目
已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c,当x=-1时取得极大值7;当x=3时,取得极小值.求这个极小值及a,b,c的值

答案

（1）因为当x=-1时,f（x）有极大值,当x=3时,f（x）有极小值,所以把x=-1和3代入导数,导数都等于0,就可得到关于a,b,c的两个等式,再根据极大值等于7,又得到一个关于a,b,c的等式,三个等式联立,即可求出a,b,c的值．
（2）因为函数再x=3处有极小值,所以把x=3代入原函数,求出的函数值即为函数的极小值．
（1）∴f（x）=x3+ax2+bx+c
∵f'（x）=3x2+2ax+b
而x=-1和x=3是极值点,
所以 {fʹ(-1)=3-2a+b=0fʹ(3)=27+6a+b=0解之得：a=-3,b=-9
又f（-1）=-1+a-b+c=-1-3+9+c=7,故得c=2
（2）由（1）可知f（x）=x3-3x2-9x+2而x=3是它的极小值点,所以函数f（x）的极小值为-25．