当抛物线y^2=x与圆x^2+y^2-2ax+a^2-1=0有四个交点时,a的取值范围是?

题目

当抛物线y^2=x与圆x^2+y^2-2ax+a^2-1=0有四个交点时,a的取值范围是?

答案

(x-a)^2+y^2=1
圆心在x轴,即抛物线的对称轴
所以一对交点关于x周对称,即横坐标相等
y^2=x
代入圆
x^2+(1-2a)x^2+a^2-1=0
当x取一个正数时,y就有两个值,即两个交点
所以要有4个交点则有两个x
所以x^2+(1-2a)x^2+a^2-1=0有两个不同的正根
有两个不同的根
判别式大于0
(1-2a)^2-4(a^2-1)>0
4a^2-4a+1-a^2+4>0
a0,x2>0
所以x1+x2=2a-1>0,a>1/2
x1*x2=a^2-1>0,a1
综上
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