概率论,切比雪夫不等式问题.

题目

概率论,切比雪夫不等式问题.
分别就离散型和连续性的情形直接证明切比雪夫不等式.

答案

1.连续型
设X的密度函数为p(x),则
P（IX-E(X)I≥ε）=(对满足IX-E(X)I≥ε的x进行积分) ∫ p(x)dx
≤(对满足IX-E(X)I≥ε的x进行积分) ∫ [(X-E(X))^2/ε^2]p(x)dx
≤(对x从负无穷到正无穷进行积分) ∫ [(X-E(X))^2/ε^2]p(x)dx
=Var(x)/ε^2
不等式得证.
2.离散型
离散型实际上和连续型一样,只是将积分号换成求和号,将p(x)换成P(X=x),然后求和的条件和上述积分的条件一样,如下
P（IX-E(X)I≥ε）=(对满足IX-E(X)I≥ε的x进行求和) Σ P(X=x)
≤(对满足IX-E(X)I≥ε的x进行求和) Σ [(X-E(X))^2/ε^2]P(X=x)
≤(对x从负无穷到正无穷进行求和) Σ [(X-E(X))^2/ε^2]P(X=x)
=Var(x)/ε^2
不等式得证.