△ABC,AC=BC,∠C=90°,∠PCQ=45°,求证：AP²+BQ²=PQ²

题目

△ABC,AC=BC,∠C=90°,∠PCQ=45°,求证：AP²+BQ²=PQ²

答案

如图,作线段CD,使∠2=∠1且CD=AC=BC,连结PD、QD
∵AC=BC,∠ACB=90°
∴∠A=∠B=45°
∵AC=CD,∠1=∠2,CP=CP
∴△CAP全等△CDP（边角边）
∴AP=DP,∠CDP=∠A=45°
∵∠ACB=90°,∠PCQ=45°
∴∠2+∠3=45°,∠1+∠4=45°
又∠1=∠2,∴∠3=∠4
同理有△CBQ全等△CDQ
∴BQ=DQ,∠CDQ=∠B=45°
△PDQ中,∠PDQ=∠CDP+∠CDQ=90°
∴DP²+DQ²=PQ²
∴AP²+BQ²=PQ²