证明 定积分(Pi/2 0) f(cos x)dx = 定积分(Pi/2 0) f(sin x)dx

题目

证明 定积分(Pi/2 0) f(cos x)dx = 定积分(Pi/2 0) f(sin x)dx
Pi/2
积分 f(cos x)dx
0
=
Pi/2
积分 f(sin x)dx
0

答案

证:注:符号=∫(a,b)表示在[a,b]上的定积分
先考察左边:
左边令t=cosx,因为x∈[0,π/2],所以t∈[0,1],x=arccost,dx=-dt/√(1-t^2)
所以左边=-∫(1,0)[f(t)/√(1-t^2)]dt==∫(0,1)[f(t)/√(1-t^2)]dt
再考察右边:
令u=sinx,因为x∈[0,π/2],所以u∈[0,1],x=arcsinu,dx=du/√(1-u^2)
所以右边=∫(0,1)[f(u)/√(1-u^2)]du
因为定积分与积分变量选取的字母无关
所以左边=右边
得证