用单调性定义证明:函数f(x)=2/x−x在(0,+∞)上为减函数.
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用单调性定义证明:函数f(x)=2/x−x在(0,+∞)上为减函数.
题目
用单调性定义证明:函数
f(x)=
2
x
−x
答案
设x
1
,x
2
∈(0,+∞)且x
1
<x
2
∵
f(
x
1
)=
2
x
1
−
x
1
,f(
x
2
)=
2
x
2
−
x
2
…2分
∴
f(
x
1
)−f(
x
2
)=
2
x
1
−
2
x
2
+
x
2
−
x
1
=
2(
x
2
−
x
1
)
x
1
x
2
+
x
2
−
x
1
=
(
x
2
−
x
1
)(
2
x
1
x
2
+1)
…8分
又∵0<x
1
<x
2
,
∴
x
2
−
x
1
>0,
2
x
1
x
2
+1>0
∴
(
x
2
−
x
1
)(
2
x
1
x
2
+1)>0
∴f(x
1
)-f(x
2
)>0,
∴f(x
1
)>f(x
2
)
由减函数的定义知道,
f(x)=
2
x
−x在(0,+∞)上是减函数
.…12分
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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