已知椭圆的焦点是F1（-1，0），F2（1，0），P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，若点P在第三象限，且∠PF1F2=120°，求tan∠F1PF2的值．

题目

已知椭圆的焦点是F₁（-1，0），F₂（1，0），P为椭圆上一点，且|F₁F₂|是|PF₁|和|PF₂|的等差中项，若点P在第三象限，且∠PF₁F₂=120°，求tan∠F₁PF₂的值．

答案

设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则

n2＝m2+4−2mcos120° m+n＝4

解方程组，得m=

6

5

，n=

14

5

．
由正弦定理，得

2

sin∠F1PF2

=

14 5

sin∠PF1F2

，
∴sin∠F₁PF₂=

5 3

14

，
∴tan∠F₁PF₂=

5 3

11

．

设|PF₁|=m，|PF₂|=n，利用F₁F₂|是|PF₁|，|PF₂|的等差中项及余弦定理，正弦定理可求tan∠F₁PF₂的值．

本题考点：椭圆的简单性质．

考点点评：本题主要考查椭圆的性质，考查等差中项及余弦定理，正弦定理，比较基础．