已知正项数列{an}对任意自然数n都有a1^2+a2^+a3^2+……+an^2=(4^n-1)/3 求a1+a2+……an的值

题目

已知正项数列{an}对任意自然数n都有a1^2+a2^+a3^2+……+an^2=(4^n-1)/3 求a1+a2+……an的值

答案

a1²=(4-1)/3=1
又数列为正项数列,各项均为正,因此a1=1
a1²+a2²+...+an²=(4ⁿ-1)/3 (1)
a1²+a2²+...+a(n-1)²=[4^(n-1) -1]/3 (2)
(1)-(2)
an²=4^(n-1)=[2^(n-1)]²
an=2^(n-1)
n=1时,a1=2^0=1,同样满足.
数列{an}的通项公式为an=2^(n-1)
a1+a2+...+an=2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)=(2ⁿ-1)/(2-1)=2ⁿ -1