设f(x)为可导函数,且满足lim[f(1)+f(1-x)]/2x=-1,x趋于0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的斜率
题目
设f(x)为可导函数,且满足lim[f(1)+f(1-x)]/2x=-1,x趋于0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的斜率
答案
由题,设1-x=t,则lim[1+f(t)]/2(1-t)=-1,t趋向于1
因此可知,limf(t)=-1,t趋向于1;又因为f(x)可导,故其连续,故f(1)=-1.
同时,上极限式可变为:lim[f(t)-f(1)]/(t-1)=1/2,t趋向于1,利用导数的定义可知,f'(1)=1/2
故(1,f(1))处的斜率为f'(1)=1/2,通过(1,-1)
其切线方程为:y+1=1/2(x-1),即y=1/2x-3/2
另,该式不能用洛必达法则,因为没有导函数连续的条件
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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