设f(x)为可导函数,且满足lim[f(1)+f(1-x)]/2x=-1,x趋于0时,求曲线y=f(x)在点（1,f(1)）处的斜率

题目

设f(x)为可导函数,且满足lim[f(1)+f(1-x)]/2x=-1,x趋于0时,求曲线y=f(x)在点（1,f(1)）处的斜率

答案

由题,设1-x=t,则lim[1+f(t)]/2(1-t)=-1,t趋向于1
因此可知,limf(t)=-1,t趋向于1；又因为f（x）可导,故其连续,故f（1）=-1.
同时,上极限式可变为：lim[f（t）-f（1）]/(t-1)=1/2,t趋向于1,利用导数的定义可知,f'(1)=1/2
故（1,f（1））处的斜率为f'(1)=1/2,通过（1,-1）
其切线方程为:y+1=1/2(x-1),即y=1/2x-3/2
另,该式不能用洛必达法则,因为没有导函数连续的条件