一等腰三角形顶角为α1,底角为α2,再以α2为顶角作等腰三角形,底角为α3,依次下去,求底角的极限

题目

一等腰三角形顶角为α1,底角为α2,再以α2为顶角作等腰三角形,底角为α3,依次下去,求底角的极限
一等腰三角形顶角为α1,底角为α2,再以α2为顶角作等腰三角形,底角为α3,继续以α3为顶角作等腰三角形,底角为α4,依次下去,求底角的极限limαn

答案

角α1,α2,α3,α4,α5,……组成一个无穷数列,其中：
α2=90-(α1/2),
α3=90-(α2/2)=90-90/2+(α1/4),
α4=90-(α3/2)=90-90/2+90/4-α1/8,
α5=90-(α4/2)=90-90/2+90/4-90/8+α1/16,
……,
αn=90-90/2+90/4-90/8+90/16-……+……+[(-1)^(n-1)]*α1/(2^(n-1)),
……,
αn-[(-1)^(n-1)]α1/(2^(n-1))=90-90/2+90/4-90/8+90/16-……+[(-1)^(n-2)]*90/[(2^(n-2)],
上式右端为一等比数列前n-2项和,公比-1/2,首项90,其和
∑＝{90-[(-1)^(n-2)]*90/[(2^(n-2)]/2}/[1-(-1/2)]=60*{1-[(-1)^(n-2)]/[(2^(n-2)]/2},
lim{an-[(-1)^(n-1)]α1/(2^(n-1))}=lim60*{1-[(-1)^(n-2)]/[(2^(n-2)]/2}=60,
lim(an)-0=60*(1-0)；
即 an=60°