若对于一切正实数x,不等式4+2x的平方除以x大于a恒成立,则实数a的范围是

题目

若对于一切正实数x,不等式4+2x的平方除以x大于a恒成立,则实数a的范围是

答案

若对于一切正实数x,不等式(4+2x²)/x>a恒成立,则实数a的范围是
设f(x)=(4+2x²)/x,并令f′(x)=[4x²-(4+2x²)]/x²=(2x²-4)/x²=2(x²-2)/x²=2(x+√2)(x-√2)/x²=0
故得驻点x₁=-√2,x₂=√2；x₁是极大点,x₂是极小点；因此在x>0时f(x)的极小值为：
f(√2)=(4+4)/√2=8/√2=4√2,故要使“对于一切正实数x,不等式(4+2x²)/x>a恒成立”,必须使
实数a