已知二次函数fx的二次项系数为a且不等式fx大于 2x的解题为 1 3 若fx加6a等于0有两

题目

已知二次函数fx的二次项系数为a且不等式fx大于 2x的解题为 1 3 若fx加6a等于0有两

答案

已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>2X的解集为(1,3).
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根,求f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)的最大值不小于8,求实数a的取值范围.
设f(x)=ax^2+bx+c
不等式f(x)＞2X的解集为(1,3)
ax^2+bx+c＞2x
ax^2+(b-2)x+c＞0
设g(x)=ax^2+(b-2)x+c
不等式f(x)＞2X的解集为(1,3),相当于g(x)=ax^2+(b-2)x+c开口向下,与x轴有两个交点将x1=1,x2=3代入ax^2+(b-2)x+c=0,得：
a*1+(b-2)*1+c=0
a*3^2+(b-2)*3+c=0
解得：b=2-4a,c=3a,代入原函数时得：
f(x)=ax^2+(2-4a)x+3a=0
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根
即：ax^2+(2-4a)x+9a=0有两个相等的实根
判别式△=(2-4a)^2-4*a*9a=0,解得a=-1,a=1/5
函数开口向下,故a＜0,所以a=1/5不合题意,舍去.
所以a=-1,故函数解析式为：
f(x=-x^2+6x-3
(2)若函数f(x)的最大值不小于8
根据公式(4ac-b^2)/(4a)≥8,即：
[4*a*9a-(2-4a)^2]/(4a)≥8
函数开口向下,a＜0,两边同乘4a得：
4*a*9a-(2-4a)^2≤8*4a,化简得：
(5a+1)(a-1)≤0,解得：
-1/5≤a≤1
而函数开口向下的前提是a＜0,所以：
-1/5≤a＜0