如图,△ABC,△CEF均为等腰直角三角形,∠ABC=∠CEF=90°,C、B、E在同一直线上,连接AF,M是AF的中点,连接MB、ME.延长BM交EF于点D. 求证:MB=MD=ME.
题目
如图,△ABC,△CEF均为等腰直角三角形,∠ABC=∠CEF=90°,C、B、E在同一直线上,连接AF,M是AF的中点,连接MB、ME.延长BM交EF于点D.
求证:MB=MD=ME.
答案
证明:∵∠ABC=∠CEF=90°,
∴AB⊥CE,EF⊥CE,
∴AB∥EF,
∴∠BAM=∠DFM,
∵M是AF的中点,∴AM=MF,
在△ABM和△FDM中,
,
∴△ABM≌△FDM(ASA),
∴BM=MD,AB=DF.
∵BE=CE-BC,DE=EF-DF,
∴BE=DE,
∴△BDE是等腰直角三角形,M为BD中点,故△BEM是等腰直角三角形,
∴BM=EM,
即MB=MD=ME.
首先通过全等三角形的判定定理ASA证得△ABM≌△FDM,则该全等三角形的对应边相等BM=MD,AB=DF.则易推知△BDE是等腰直角三角形,M为BD中点,故△BEM是等腰直角三角形,所以BM=EM,即MB=MD=ME.
全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.
本题考查了全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形.在应用全等三角形的判定时,要注意三角形间的公共边、公共角以及对顶角,必要时添加适当辅助线构造三角形.
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