设a>0,求函数f(x)=x-ln(x+a)(x∈(0,+∞))的单调区间.
题目
设a>0,求函数f(x)=
-ln(x+a)(x∈(0,+∞))的单调区间.
答案
由题意得
f′(x)=-(x>0),
令f′(x)=0,
即x
2+(2a-4)x+a
2=0,
其中△=4(a-2)
2-4a
2=8-8a,
(i)当a>1时,△<0成立,
对所有x>0,有x
2+(2a-4)+a
2>0.
即f′(x)>0,
此时f(x)在(0,+∞)内单调递增;
(ii)当a=1时,△=0成立,
对x≠1,有x
2+(2a-4)x+a
2>0,
即f′(x)>0,
此时f(x)在(0,1)内单调递增,且在(1,+∞)内也单调递增,
又知函数f(x)在x=1处连续,
因此,函数f(x)在(0,+∞)内单调递增;
(iii)当0<a<1时,△>0成立,
令f′(x)>0,
即x
2+(2a-4)x+a
2>0,
解得x<2-a-2
或x>2-a+2
,
因此,函数f(x)在区间
(0,2-a-2),
(2-a+2,+∞)内也单调递增.
令f′(x)<0,
即x
2+(2a-4)x+a
2<0,
解得
2-a-2<x<2-a+2,
因此,函数f(x)在区间
(2-a-2,2-a+2)内单调递减.
由题意函数f(x)=
-ln(x+a),首先求出函数的导数,然后根据导数与函数单调区间的关系对a的大小进行分类讨论.
利用导数研究函数的单调性.
本题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
热门考点
- 已知数列an的前n项和为Sn,并且满足a1=2,n*an+1=Sn+n(n+1).(1)求an的通项公式.2,令Tn=Sn/2^n问,
- ()()()te()()是什么英文单词?
- 质量相等的A,B两球在光滑水平面上研同一条直线,同一方向运动,A球动量是
- m,n都是正整数,多项式x的m次方-2y的n次方+2m+n次方的次数是?
- 甲,乙,丙三数的和为10.6,甲,乙的和为6.55,乙,丙的和为7.1.则甲,乙,丙分别是多少?
- 98年水灾原因
- “这张相片让我想起了过去”这句子怎么翻译成英国句子?
- the other 与the other one 的区别
- 原料药与制剂分别使用何种分析方法进行分析?
- 根据内容写答案 文章中,小男孩学习到了“捐”的意义 ,这“捐”的意义是什么?文题“抬起头来做人”