已知函数f（x）=loga（ax2-x+3）在[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是 _ ．

题目

已知函数f（x）=log_a（ax²-x+3）在[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是 ___ ．

答案

设μ=ax²-x+3．
则原函数f（x）=log_a（ax²-x+3）是函数：y=log_aμ，μ=ax²-x+3的复合函数，
①当a＞1时，因μ=log_ax在（0，+∞）上是增函数，
根据复合函数的单调性，得
函数μ=ax²-x+3在[2，4]上是增函数，
∴

a×22-2+3＞0 1 2a ≤2

∴a＞1．
②当0＜a＜1时，因μ=log_ax在（0，+∞）上是减函数，
根据复合函数的单调性，得
函数μ=ax²-x+3在[2，4]上是减函数，
∴

a×42-4+3＞0 1 2a ≥4

∴

1

16

＜a≤

1

8

．
综上所述：a∈(

1

16

，

1

8

]∪(1，+∞)
故答案为：(

1

16

，

1

8

]∪(1，+∞)．

将原函数f（x）=log_a（ax²-x+3）看成是函数：y=log_aμ，μ=ax²-x+3的复合函数，利用对数函数与二次函数的单调性来研究即可．注意对数的真数必须大于0．

本题考点：复合函数的单调性．

考点点评：本题考查复合函数的单调性，指数函数的单调性，二次函数的单调性．是基础题．熟练掌握基本初等函数的单调性及其单调区间．理解并掌握判断复合函数单调性的方法：同增异减．