设函数f（x）=a^x-（k-1）a^（-x）（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数.

题目

设函数f（x）=a^x-（k-1）a^（-x）（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数.
1.求k值
2.若f（1）＜0,试判断函数单调性并求使不等式f（x^2+tx）+f（4-x）＜0恒成立的t的取值范围.
3.若f（1）=1.5,g（x）=a^2x+a^（-2x）-2mf（x）且g（x）在【1,+∞】上的最小值为-2,求m的值.

答案

（1）因为f（x）是定义域为R的奇函数
所以f（0）=0 亦即1-（k-1）=0,即k=2
（2） 函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）,
因为f（1）＜0, 所以a-1/a＜0,又 a＞0,所以1＞a＞0
由于y=a^x单调递减,y=a^-x单调递增,故f（x）在R上单调递减．
不等式化为f（x^2+tx）＜f（x-4）．
所以 x^2+tx＞x-4,即 x^2+（t-1）x+4＞0 恒成立
即有（t-1）^2-16＜0,解得-3＜t＜5
（3）因为f（1）=3/2 a-1/a=3/2
即2a2-3a-2=0,所以 a=2,或 a=1/2 （舍去）
所以 g（x）=2^2x+2^（-2x）-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）^2-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x,是增函数．
因为x≥1,所以 t≥f（1）=3/2
令h（t）=t^2-2mt+2=（t-m）^2+2-m^2　（t≥3/2）
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若m≥3/2,当t=m时,h（t）min=2-m^2=-2,即m=2
若m＜3/2,当t=3/2时,h（t）min=17/4-3m=-2,解得m=25/12＞3/2,（舍去）
综上可知 m=2