已知函数f(x)=x2+a/x(x≠0,a∈R) (1)判断函数f(x)的奇偶性. (2)若f(x)在区间[2,+∞)是增函数,求实数a的取值范围.
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已知函数f(x)=x2+a/x(x≠0,a∈R) (1)判断函数f(x)的奇偶性. (2)若f(x)在区间[2,+∞)是增函数,求实数a的取值范围.
题目
已知函数f(x)=x
2
+
a
x
答案
(1)当a=0时,f(x)=x
2
,函数是偶函数;
当a≠0时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)设x
2
>x
1
≥2,f(x
1
)-f(x
2
)=
x
1
2
+
a
x
1
-
x
2
2
-
a
x
2
=
x
1
−x
2
x
1
x
2
[x
1
x
2
(x
1
+x
2
)-a],
∵x
2
>x
1
≥2,∴x
1
-x
2
<0,x
1
x
2
>4,x
1
+x
2
>4,
∴x
1
x
2
(x
1
+x
2
)>16,
∵若f(x)在区间[2,+∞)是增函数,即f(x
1
)-f(x
2
)<0,∴x
1
x
2
(x
1
+x
2
)-a>0恒成立,
∴a<x
1
x
2
(x
1
+x
2
)恒成立,
又∵x
1
x
2
(x
1
+x
2
)>16,
∴a≤16
故实数a的取值范围是a≤16.
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