如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，AB=2AC，求证：△ABC是直角三角形．

题目

如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，AB=2AC，求证：△ABC是直角三角形．

答案

证明：如图，作线段AB的垂直平分线，垂足为D，且与BC相交于点E，易证△AED≌△BED．
∴AD=

1

2

AB=

1

2

×2AC=AC，∠B=∠EAD．
∵∠BAC=2∠B，∠EAD+∠EAC=∠BAC，
∴∠EAC=∠EAD．
在△AEC和△AED中，AE=AE，∠EAC=∠EAD，AC=AD，
∴△AEC≌△AED．
∴∠C=∠EDA．
∵∠EDA=90°，
∴∠C=90°．
故△ABC是直角三角形．