已知幂函数f(x)=x−2m2+m+3(m∈Z) 为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数. (1)求m的值,并确定f(x)的解析式; (2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1)在区间
题目
已知幂函数f(x)=x−2m2+m+3(m∈Z) 为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数.
(1)求m的值,并确定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1)在区间[2,3]上为增函数,求实数a的取值集合.
答案
(1)∵幂函数f(x)=
x−2m2+m+3(m∈Z) 为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数.
∴
,解得m=1,此时f(x)=x
2.
(2)由(1)可知:
g(x)=loga(x2−ax)(a>0,且a≠1).
∵x
2-ax>0,∴x(x-a)>0,∴0>x或x>a,∴函数g(x)的定义域为{x|a<x或x<0},且
g(x)=loga[(x−)2−].
①当a>1时,g(u)=log
au在区间(0,+∞)上单调递增,
∵已知函数g(x)在区间[2,3]上为增函数,
且函数y=
(x−)2−在区间
(,a)上单调递增,
∴
≤2,∴a≤4,
∵a>1,∴1<a≤4.
②当0<a<1时,g(u)=log
au在区间(0,+∞)上单调递减,
∵已知函数g(x)在区间[2,3]上为增函数,
当满足函数y=
(x−)2−在区间
(0,)上单调递减时适合要求,
∴
3≤,解得a≥6,而0<a<1,故无解.
综上可知:实数a的取值集合是{a|1<a≤4}.
(1)利用函数的奇偶性和幂函数的单调性即可求出;
(2)利用二次函数、对数函数和复合函数的单调性即可求出.
幂函数的性质;对数函数图象与性质的综合应用.
充分理解幂函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数单调性是解题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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