如图,E在△ABC的AC边的延长线上,D点在AB边上,DE交BC于点F,DF=EF,BD=CE,求证:△ABC是等腰三角形.

如图,E在△ABC的AC边的延长线上,D点在AB边上,DE交BC于点F,DF=EF,BD=CE,求证:△ABC是等腰三角形.

题目
如图,E在△ABC的AC边的延长线上,D点在AB边上,DE交BC于点F,DF=EF,BD=CE,求证:△ABC是等腰三角形.
答案
证明:过点D作DG∥AE于点G,
∵DG∥AC
∴∠GDF=∠CEF(两直线平行,内错角相等),
在△GDF和△CEF中
∠GDF=∠CEF
DF=EF
∠DFG=∠CFE

∴△GDF≌△CEF(ASA),
∴DG=CE
又∵BD=CE,
∴BD=DG,
∴∠DBG=∠DGB,
∵DG∥AC,
∴∠DGB=∠ACB,
∴∠ABC=∠ACB,
∴△ABC是等腰三角形.
利用平行线的性质得出∠GDF=∠CEF进而利用ASA得出△GDF≌△CEF,再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可.

等腰三角形的判定.

本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定,比较简单,判定两三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”,需要熟练掌握.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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