高二数学推理与证明习题!

高二数学推理与证明习题!

题目
高二数学推理与证明习题!
1.已知:a>0,b>0,求证2ab/a+b≤√ab≤a+b/2≤√[(a^2+b^2)/2]
2.设a,b,c∈R,求证√(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2)≥√2(a+b+c)
3.证明:f(x)=2^(x²-4x+3)在(2,+∞)上是增加的.
PS.一定要完整过程 先谢谢啦!
答案
分析,(1)和(2),都用到,
∵ (a-b)²≥0;
∴a²+b²-2ab≥0
(1)证明:∵a>0,b>0;
∴ (a-b)²≥0;
∴a²+b²-2ab≥0;
第一个不等号:
 a²+b²+(2ab -2ab)-2ab≥0;
 (a+b)² -2ab-2ab≥0;
 (a+b)² ≥4ab;
 4ab×(ab)≤ (a+b)² ×(ab);
4a²b²≤(a+b)² ab
4a²b²/(a+b)²≤ab
√[4a²b²/(a+b)²]≤√[ab]
2ab/(a+b)≤√(ab)
第二个不等号:
 a²+b²+(2ab -2ab)-2ab≥0;
 (a+b)² -2ab-2ab≥0;
 4ab≤ (a+b)²;
√4ab≤√(a+b)²
√ab≤(a+b)/2;
第三个不等号:
 a²+b²-2ab≥0;
 a²+b²+(a²+b²)-(a²+b²)-2ab≥0;
 2(a²+b²)-(a²+b²+2ab)≥0;
 2(a²+b²)-(a+b)²≥0;
 2(a²+b²)≥(a+b)²
 2(a²+b²)/4≥(a+b)²/4
(a²+b²)/2≥(a+b)²/4
√[(a²+b²)/2]≥√[(a+b)²/4]
√[(a²+b²)/2]≥(a+b)/2;
(a+b)/2≤ √[(a²+b²)/2];
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(2) 证明:∵a、b、c∈R;
∴ (a-b)²≥0;
由于(1)的第三个不等式的证明有:
(a+b)/2≤ √[(a²+b²)/2];
 √(a²+b²)≥(a+b)/√2;-------(11)
同理有:√(b²+c²)≥(b+c)/√2;------(22)
√(c²+a²)≥(c+a)/√2;------(33)
(11)、(22)和(33) 三式相加得:
√(a²+b²)+ √(b²+c²)+ √(c²+a²)≥[(a+b)+(b+c)+(c+a)] /√2;
√(a²+b²)+ √(b²+c²)+ √(c²+a²)≥2(a+b+c)/√2=√2 (a+b+c);
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∵指数函数a^x(a>0且≠1),
当a>1时,指数函数是递增的函数;
又∵f(x)=2^(x²-4x+3)
=2^[(x-2)²-1 ]
当∈(2,+∞)时,(x-2)²-1是递增函数;
∴底数为2^X 指数函数
f(x)=2^(x²-4x+3)=2^[(x-2)²-1 ],在(2,+∞)时是递增的函数;
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###.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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