求复变积分,∫e^z/(z(z^2-1))dz,其中 为正向圆周|z|=4.

题目

求复变积分,∫e^z/(z(z^2-1))dz,其中 为正向圆周|z|=4.

答案

将原积分化为三个积分的和,积分=∮e^zdz/2(z+1)+∮e^zdz/2(z-1)-∮e^zdz/z,由于这三个积分中被积函数的奇点z=-1.z=1,z=0均在积分闭曲线内部,故根据柯西积分公式∮f(z)dz/(z-z0)=2πif(z0),积分=πi/e+eπi-2πi=πi(e+1/e-2).