向量a等于（cos阿尔法,sin阿尔法）向量b等于（cos贝塔,sin贝塔）

题目

向量a等于（cos阿尔法,sin阿尔法）向量b等于（cos贝塔,sin贝塔）
零小于贝塔小于阿尔法小于180度.（1）/a-b/等于根号2 求证a垂直于b (2)设c等于（0,1）,a加b等于c 求阿尔法和贝塔的值.

答案

已知向量a=(cosα,sinα) ,向量b=(cosβ,sinβ),向量c＝（-1,0）,求向量b+c长度的最大值；
设α=π/4,且a垂直于b+c,求cosβ
b+c=(cosβ-1,sinβ),故︱b+c︱=√[(cosβ-1)²+sin²β]=√(cos²β-2cosβ+1+sin²β)
=√(2-2cosβ)≦√4=2,即向量b+c长度的最大值为2.
当α=π/4时a=(√2/2,√2/2)；
∵a⊥(b+c),∴a•(b+c)=(√2/2)(cosβ-1)+(√2/2)sinβ=(√2/2)(cosβ+sinβ)-√2/2=0
故cosβ+sinβ=cosβ+cos(π/2-β)=2cos(π/4)cos(β-π/4)=(√2)cos(β-π/4)=1
即有cos(π/4-β)=√2/2,故π/4-β=±π/4,∴β=0或π/2.