三角形ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,向量OH=m(OA+OB+OC),则实数m=

题目

三角形ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,向量OH=m(OA+OB+OC),则实数m=
如题

答案

m=1
作直径BD,连接DA、DC,于是有
向量OB=-向量OD
易知,H为△ABC的垂心
∴CH⊥AB,AH⊥BC
∵BD为直径
∴DA⊥AB,DC⊥BC
∴CH//AD,AH//CD
故四边形AHCD是平行四边形
∴向量AH=向量DC
又 向量DC=向量OC-向量OD=向量OC+向量OB
于是,得
向量OH=向量OA+向量AH=向量OA+向量DC=向量OA+向量OB+向量OC
对比系数,得到m=1.