已知函数f(x)=−13x+16,x∈[0,12]2x3x+1,x∈(12,1],函数g(x)=asin(π6x)-2a+2(a>0),若存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则
题目
已知函数f(x)=
,函数g(x)=asin(
x)-2a+2(a>0),若存在x
1,x
2∈[0,1],使得f(x
1)=g(x
2)成立,则实数a的取值范围是( )
A. [-
,1]
B. [
,
]
C. [
,
]
D. [
,2]
答案
当x∈[0,
]时,y=
-
x,值域是[0,
];
x∈(
,1]时,y=
,y′=
>0恒成立,故为增函数,值域为(
,1].
则x∈[0,1]时,f(x)的值域为[0,1],
当x∈[0,1]时,g(x)=asin(
x)-2a+2(a>0),
为增函数,值域是[2-2a,2-
],
∵存在x
1、x
2∈[0,1]使得f(x
1)=g(x
2)成立,
∴[0,1]∩[2-2a,2-
]≠∅,
若[0,1]∩[2-2a,2-
]=∅,
则2-2a>1或2-
<0,即a<
,或a>
.
∴a的取值范围是[
,
].
故选:B.
根据x的范围确定函数f(x)的值域和g(x)的值域,进而根据f(x
1)=g(x
2)成立,推断出[0,1]∩[2-2a,2-
]≠∅,先看当二者的交集为空集时刻求得a的范围,进而可求得当集合的交集非空时a的范围.
分段函数的应用.
本题主要考查了三角函数的最值,函数的值域问题,不等式的应用.解题的关键是通过看两函数值域之间的关系来确定a的范围.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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