如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB=BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点． （1）求证：EF=1/2AB； （2）过点A作AG∥EF，交BE的延长线于点G，求证：△ABE≌△AGE．

题目

如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB=BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点．

（1）求证：EF=

1

2

答案

证明：（1）连接BE，（1分）
∵DB=BC，点E是CD的中点，
∴BE⊥CD．（2分）
∵点F是Rt△ABE中斜边上的中点，
∴EF=

1

2

AB；（3分）
（2）[方法一]在△ABG中，AF=BF，AG∥EF，
∴EF是△ABG的中位线，
∴BE=EG．（3分）
在△ABE和△AGE中，AE=AE，∠AEB=∠AEG=90°，
∴△ABE≌△AGE；（3分）
[方法二]由（1）得，EF=AF，
∴∠AEF=∠FAE．（1分）
∵EF∥AG，
∴∠AEF=∠EAG．（1分）
∴∠EAF=∠EAG．（1分）
∵AE=AE，∠AEB=∠AEG=90°，
∴△ABE≌△AGE．（3分）