若椭圆X²÷a²+y²÷b²=1(a＞b＞0）的左右焦点为F1和F2椭圆的离心率为根号2:2

题目

若椭圆X²÷a²+y²÷b²=1(a＞b＞0）的左右焦点为F1和F2椭圆的离心率为根号2:2
椭圆X²÷a²+y²÷b²=1(a＞b＞0）的焦点为F1和F2椭圆的离心率为根号2:2求过点c(-1,0)且斜率为K的直线l交椭圆于A,B两点,若AC=2CB,则△OAB面积最大时,求椭圆的方程
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答案

c/a=√2/2,
∴a^=2c^,b^=c^,
∴椭圆方程是x^+2y^=2c^,
AC=2CB,
∴设B(-1+m,n),A(-1-2m,-2n),于是
（-1+m)^+2n^=2c^,①
(-1-2m)^+8n^=2c^,②
①*4-②,3-12m=6c^,m=(1-2c^)/4,
代入①,（9+12c^+4c^4)/16+2n^=2c^,
n^=(-9+20c^-4c^4)/32=[-(c^-5/2)^+4]/8,
当c^=5/2时最大,
|AB|=3√(m^+n^),
AB:y=n(x+1)/m,即nx-my+n=0,
O到AB的距离d=|n|/√(m^+n^),
∴S△OAB=(1/2)|AB|d=(3/2)|n|,当c^=5/2时最大,
∴所求椭圆方程是x^+2y^=5,即x^/5+y^/2.5=1.