关于带根号内带根号的计算

关于带根号内带根号的计算

题目
关于带根号内带根号的计算
有道函数题,在整理结果时,我得到的是(2+√3)/√[(2+√3)²+1²],可答案是(√2+√6)/4.经计算器检验,这两个式子结果相同.可是,怎么由我的结果转换成答案的结果呢?请给出详解,我会追加50分.
答案
思路就是把分母的根号里面的配成完全平方,就能开出来了.
(2+√3)²+1²=4+4√3+3+1=8+4√3
由完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²可以看出,带根号的项只能出现在中间项中,而中间项有一个2倍,所以将上式提出2,留下一个2:
(2+√3)²+1²=2(4+2√3)
再由公式可以看出,中间项有个√3,所以平方项中就有一个√3的平方,即3,所以把4分成1+3,正好就能凑成完全平方:
(2+√3)²+1²=2(1+2√3+3)=2(1²+2×1×√3+√3²)=2(1+√3)²
∴(2+√3)/√[(2+√3)²+1²]=(2+√3)/√[2(1+√3)²]=(2+√3)/[√2×(1+√3)]=(2+√3)/(√2+√6)
分母有理化:
原式=(2+√3)(√6-√2)/(6-2)=(2√6+3√2-2√2-√6)/4=(√2+√6)/4
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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