已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的表达式.
题目
已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的表达式.
答案
设f(x)=ax2+bx+c
由f(0)=1得c=1
∴f(x)=ax2+bx+1
∴f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+1=ax2+(2a+b)x+a+b+1
∴f(x+1)-f(x)=ax2+(2a+b)x+a+b+1-ax2-bx-1=2ax+a+b
∵f(x+1)-f(x)=2x
∴2ax+a+b=2x
∴2a=2且a+b=0
∴a=1,b=-1
∴f(x)=x2-x+1
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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