已知函数f(x)=1/2ax2+2x−lnx (1)当a=0时,求f(x)的极值; (2)若f(x)在区间[1/3,2]上是增函数,求实数a的取值范围.
题目
已知函数
f(x)=ax2+2x−lnx(1)当a=0时,求f(x)的极值;
(2)若f(x)在区间
[,2]上是增函数,求实数a的取值范围.
答案
(1)函数的定义域为(0,+∞)∵f(x)=12ax2+2x−lnx当a=0时,f(x)=2x-lnx,则f′(x)=2−1x∴x,f'(x),f(x)的变化情况如下表 x (0,12) 12 (12,+∞) f'(x) - 0 + f(x) 极小...
(1)因为当函数的导数为0时,函数有极值,所以当a=0时,必须先在定义域中求函数f(x)的导数,让导数等于0,求x的值,得到极值点,在列表判断极值点两侧导数的正负,根据所列表,判断何时有极值.
(2)因为当函数为增函数时,导数大于0,若f(x)在区间
[,2]上是增函数,则f(x)在区间
[,2]上恒大于0,所以只需用(1)中所求导数,令导数大于0,再判断所得不等式当a为何值时,在区间
[,2]上恒大于0即可.
利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
本题考查了利用导数求函数极值以及函数单调性,属于常规题,必须掌握.
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