已知函数f(x)=kx^3-3(k+1)x^2-k^2+1(k>0),若f(x)的单调减区间是（0,4）,则在曲线y=f(x)的切线中,斜率最小的切线方程是?

题目

已知函数f(x)=kx^3-3(k+1)x^2-k^2+1(k>0),若f(x)的单调减区间是（0,4）,则在曲线y=f(x)的切线中,斜率最小的切线方程是?

答案

求导,
f'（x）=3kx^2-6(k+1)x,
则f'（0）=0,f'（4）=0,
解得k=1,
f'（x）=3x^2-12x
对称轴为x=2,
则当x=2时,f'（x）取得最小值,由于f'（x）的大小即为切线斜率的大小,此时斜率最小,
得f'（2）= - 12
由于当x=2时斜率最小
f（x）=x^3-6x^2
此时f（2）= - 16
即切线通过点（2,-16）
因此斜率最小切线方程为y+16=-12（x-2）
即y=-12x+8