已知函数f(x)=kx^3-3(k+1)x^2-k^2+1(k>0),若f(x)的单调减区间是(0,4),则在曲线y=f(x)的切线中,斜率最小的切线方程是?
题目
已知函数f(x)=kx^3-3(k+1)x^2-k^2+1(k>0),若f(x)的单调减区间是(0,4),则在曲线y=f(x)的切线中,斜率最小的切线方程是?
答案
求导,
f'(x)=3kx^2-6(k+1)x,
则f'(0)=0,f'(4)=0,
解得k=1,
f'(x)=3x^2-12x
对称轴为x=2,
则当x=2时,f'(x)取得最小值,由于f'(x)的大小即为切线斜率的大小,此时斜率最小,
得f'(2)= - 12
由于当x=2时斜率最小
f(x)=x^3-6x^2
此时f(2)= - 16
即切线通过点(2,-16)
因此斜率最小切线方程为y+16=-12(x-2)
即y=-12x+8
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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