已知函数f(x) =x^3-x,1,求曲线y=f(x)过点(1,0)的切线方程

题目

已知函数f(x) =x^3-x,1,求曲线y=f(x)过点(1,0)的切线方程
2,若过x轴上的点(a,0)可以作曲线y=f(x)的三条切线,求a的取值范围

答案

1、
点(1,0)在曲线y=f(x)=x^3-x上,对函数f(x)求导有
f'(x)=3x^2-1,因此f'(1)=2
所以曲线y=f(x) =x^3-x过点 (1,0) 的切线的斜率是2
求得切线方程是：y=2x-2
2、
设P(m,m^3-m)是函数f(x)=x^3-x上一点,其切线是
y-(m^3-m)=(3m^2-1)(x-m)
切线过点(a,0),即有0-(m^3-m)=(3m^2-1)(a-m)
整理得：2m^3-3am^2+a=0
设m=n+a/2,可将上述关于m的一元三次方程转化为关于n的一元三次方程：
n^3+pn+q=0,其中p=(-3/4)(a^2),q=-(a^3)/4+a/2
根据条件,上述关于n的一元三次方程有三个不同的实根,由卡尔丹判别法可知：
当△=(q/2)^2+(p/3)^3