已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2=1的左、右焦点为F1、F2,点P在其左支上,设P到左准线的距离为d,若d,PF1,PF2成等比数列,求双曲线离心率的取值范围.

题目

已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2=1的左、右焦点为F1、F2,点P在其左支上,设P到左准线的距离为d,若d,PF1,PF2成等比数列,求双曲线离心率的取值范围.

答案

因为若d,PF1,PF2成等比数列,|PF1|²=d·|PF2|
由双曲线的第二定义得 |PF1|=e·d
联立可得|PF2|=e|PF1|,
由双曲线第一定律得|PF2|-|PF1|=2a
|PF1|=2a/（e-1） |PF2|=2ae/（e-1）
三角形PF1F2中|PF1|+|PF2|≥2c
由e=c/a 得 e²-2e-1≤0
因为e>1
所以e的取值范围为（1,1+根号2]