等腰三角形ABC,AB=AC,P为BC边上一点,请猜想,P到两腰的距离之和等于什么?请给出证明

题目

等腰三角形ABC,AB=AC,P为BC边上一点,请猜想,P到两腰的距离之和等于什么?请给出证明

答案

P到两腰的距离之和等于AB或AC边上的高的长度
证明：连接AP
设P到AB的距离为h1,到AC的距离为h2,设△ABC中,AB边上的高为h
则△ABP的面积=1/2·AB·h1
△ACP的面积=1/2·AC·h2
△ABC的面积=△ABP的面积+△ACP的面积=1/2·AB·h1+1/2·AC·h2
∵AB=AC
∴△ABC的面积=1/2AB·（h1+h2）=1/2AB·h
∴h=h1+h2
又等腰△ABC中,AB=AC,AB、AC两边上的高相等
∴P到两腰的距离之和等于AB或AC边上的高的长度