函数f(x)与xf(x)在[a,b]上连续,且f(x)与xf(x)在[a,b]上的定积分都==0,

题目

函数f(x)与xf(x)在[a,b]上连续,且f(x)与xf(x)在[a,b]上的定积分都==0,
证明:f(x)在[a,b]上至少存在两个不同点m,n使得f(x)=0

答案

假设f(x)在（a,b）上恒不等于0,则f(x)在（a,b）内恒正或恒负,根据积分不等式性质有 f（x）在（a,b）上的积分要么大于0,要么小于0.这与f(x)在[a,b]上的定积分==0矛盾.故存在一点x1在（a,b）上,使f（x1）=0.假设 f（x...