自然数m、n满足m+n=1991,求证：10^m+10^n是11的倍数?

题目

自然数m、n满足m+n=1991,求证：10^m+10^n是11的倍数?
有谁知道么?

答案

由常识知：11,1001,100001等数均是11的倍数,在这些数后加n个0亦为11的倍数.
设m>n,10^m与10^n均是1后加m或n个0而已,他们相加得到的数是
1(000...)1(000...)
(m-n-1个) (n个)
故该题只需证明m－n-1=偶数,
即m-n=奇数 便可,
而m＋n＝1991可知m,n的差总是奇数,
故10^m+10^n是11的倍数.